だんだん好きになってきたって英語でなんて言うの？

この３つの答えは状態によってです。もちろん「love」は「like」より強いですね。もっと恋愛的なニュアンスになります。

「〜 has grown on me」というと、カビみたいに身体中に生えるというイメージが出てくるかもしれませんが、この場合ではポジティブな意味です。

This band has really grown on me.
このバンドがどんどん好きになった。

ご質問に一番合う表現は
I’ve slowly come to like (you)です。

だんだん = slowly, gradually
好き = like
なってきた = I’ve come to

I used to not like this actor, but now I’ve slowly come to like him.

もし前と違って、今は好きと表現したいなら、
I used to not like this actor, but i like him now.
と言えます。

だんだん、少しずつ＝gradually
～になる＝come to ～

あなたのことが好き、と表現する際は、
I like you.ですよね。
I love you.となるともっと強くなります。

質問にある、好きになる、というのはlikeで良いかと思われます。

現在完了形で、I've (have) come to とすると時間的な意味が加わりますので
I've come to like you. でも良いかと思います。ちょっとずつをきちんと表現したい場合、
graduallyを加えれば良いかと思います。