鬱になりそうって英語でなんて言うの？

be fed up with ○○、be sick of ○○ は「○○にはうんざり」といった感じです。「課題」にもいろいろありますが、数えられる名詞であれば、so many ○○、数えられない名詞であれば so much ○○ とすれば、「○○があまりにも多くてうんざり」となります。 ちなみに「鬱（うつ）」は depression といい、動詞で be depressed にすれば「（主語）が鬱になる」になります。ただ「なりそう」なら、まだなっていないので、almost を入れます。

うんざりする、気が滅入る、鬱になりそう、といった意味で使われる言葉です。 The amount of work he gives me is so depressing.（彼の出す課題の量には、とてもうんざり＝鬱になりそう）

あ〜うんざり！ 言い方次第でニュアンスに多少の変化をつけられますよ。