「[家族](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/32818/)の」というと、ドラマに出演した家族のことでしょうか？
それとも、家族というものの、[暖かさ](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/52259/)を感じたのでしょうか？
それによって違いは多少ありますが、後者でしたら「I felt the warmth of family」と言います。
前者ですと「I felt the warmth of their family」と特定して表現します。
I got a sense of the intimacy and warmth of the family.
例文１「[家族](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/32818/)の温かさを感じる。」
見た時の感想なので、I could see とも言えます。
warmth で「温かさ」
例文２「家族の親密さと温かさを感じた。」
get a sense で「[感じる](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/52890/)」
intimacy で「親密さ」
ご参考になれば幸いです！
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：
feel the warmth of family
家族の温かさを感じる
warmth は「温かさ」という意味の英語表現です。
例：
I felt the warmth of family when I saw the movie.
その映画を観て家族の温かさを感じました。
ぜひ参考にしてください。
イギリス 
日本 
アメリカ合衆国 
