何か都合の悪いことを「隠蔽する」はcover-upと言います。「体質」は隠蔽する精神構造なのでmentalityがいいでしょう。
もう少し弱い表現だと、lack of transparencyもよく使われます。transparencyは「ガラス張り」ということで、lack ofが付くとその反対で、情報が公開されないので「中で何が行われているかわからない」という意味になります。ただし、必ずしも何か悪いことが意図的に隠蔽されているとは限りません。行われていてもわからないことが問題となります。
"I want to eliminate the cover-up culture in this company."
「この会社の隠蔽体質を撲滅したい」を英語で表現するには以下のようなフレーズが使用できます。
"I want to eliminate the cover-up culture in this company." 「eliminate」は「取り除く」「廃止する」、「cover-up culture」は「隠蔽体質」を指す言葉なので、全体として既述の意味になります。
"I aim to rid the company of its secretive culture." 「aim to」は「~を目指す」、「rid」は「取り除く」、「secretive culture」も「隠蔽体質」を意味するので、全体としては「私は会社の隠蔽体質をなくすことを目指す」となります。