カートを使って良いか尋ねるのは「May I use this cart? 」です。
その回答として、「Sure!」があります。
もう一つ、聞かれている可能性が高いのは、「Are you using this cart？」（このカート使用していますか？）。これに「Sure!」と答えてしまうと、「はい、使っています」になりますので、、「No, please go ahead and use it!」と言った方が良いと思います。
Do you mind はもう一つの誰かに「してもいいか」と許可を求める言い方です。これに対する答え方は
No I don’t mind. Go aheadと 「no」と答えるのがポイントです。
Do you mind は直訳すると「〜を気にしますか？」と聞くことになるので「気にしないですよ〜」というのが「どうぞ」と言っていることになるのです。
ちなみに shopping cartは住む場所によってbuggy（バギー） という方もいるので注意が必要です。
参考にしてください
こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば次のような英語表現はいかがでしょうか：
Can I use this cart?
このカート、使ってもいいですか？
Of course! / Sure!
もちろんです！
of course は「もちろん」という意味の英語表現です。
sure も同じように使うことができます。
ぜひ参考にしてください。
イギリス 
日本 
アメリカ合衆国 
