犬も猫も好きじゃないって英語でなんて言うの？

ご質問どうもありがとうございました。
下記の言い方ではいかがでしょうか。

「neither」を使うときに「or」じゃなくて「nor」を使います。「either」を使うときに「or」を使います。

ご参考にしていただければ幸いです。

Neitherを使いたのであれば、上記のフレーズになります。
Neitherは否定文には入れないです。

参考になれば幸いです。