"How is the baby?"
「赤ちゃんは元気ですか？」
"How is 〇〇?"
「〇〇ちゃんは元気ですか？」
How is 〜〜 で「元気ですか？」の意味になります。ご質問にあったように「赤ちゃんは元気ですか？」なら "How is the baby?" で大丈夫ですが、赤ちゃんの名前をご存知であれば "How is John?" など名前で呼んであげた方が親しみがあって良いと思います。
クリスマスカードに使えるフレーズとしては：
"I hope you are spending a wonderful Christmas with your family."
「ご家族と一緒に素晴らしいクリスマスを過ごしているかと思います」
"I'd love to meet little 〇〇 in person."
「〇〇ちゃんにぜひ会いたいです」
など、いかがでしょうか？
ご参考になれば幸いです。
How are you doing? が「あなたの赤ちゃん」に置き換わっただけの言い方です。
How is your baby doing?
あなたの赤ちゃんはどうしてる？
メジャーなフレーズではないですが、生後半年くらいなら以下のようなメッセージもいいかもしれません。
Enjoy your first Christmas with your baby!
赤ちゃんと一緒の初めてのクリスマスを楽しんで！
Is the baby doing well?
How is the baby doing?
上記はいずれも「赤ちゃんは元気ですか？」というニュアンスの英語表現です。
他には：
Enjoy your Christmas with your baby!
赤ちゃんと一緒にクリスマスを楽しんでね！
ぜひ参考にしてください。
ご質問ありがとうございます。
・「How is your baby doing?」
＝赤ちゃんは元気ですか？
（例文）How is your baby doing? Is she one now?
（訳）赤ちゃんは元気ですか？今一才ですか？
（例文）How is your baby doing?// She's doing great.
（訳）赤ちゃんは元気ですか？//元気ですよ。
便利な単語：
baby 赤ちゃん
お役に立てれば嬉しいです。
Coco
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