承認はほとんどの場合「Approve」を使います。
ビジネスではなおさらです。
しかしながら、承認を行うことは動詞なので、「Approve」は上から目線すぎるので、あまり使いません。承認するなら「sign off」の方がいいです。
[部下](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/27634/)の[仕事](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/37171/)を承認するのでしたら、「My job is to sign off on my subordinates' work」。
Approve を使うのは、例えば行政機関の承認を得る時に「We need approval from the authorities」などと使います。
1) approve (...をよいと認める・賛成する)
I check my subordinate's work and approve it when it done.
部下の[仕事](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/37171/)を確認し、完了したらよいと認めます。
2) acknowledge ([認める](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/33801/)・受け取ったことを知らせる)
I acknowledge my colleagues hard work when they've done a good job.
同僚が良い仕事をしたときに重労働のことを認めます。
3) accept ([受け入れる](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/33318/))
I check my subordinates work and accept it if there aren't any problems.
部下の仕事を確認して、問題がなければ受け入れます。
場合によってちょっと違う意味の言葉が結構ありますが、全部がよく使う言葉なので好きに使ってみてください。
お役に立てれば幸いです!
何かに正式に「承認する」は、
"acknowledge"
という表現を使うことが出来ます。
"I acknowledge this by my signature."
「署名をもってこれを承認します。」
また、
"This has been approved."
「これは承認されました。」
と言うことも出来ます。
<ボキャブラリー>
acknowledge = 認める、承認する
approve = 認める、承認する
ご参考になれば幸いです。