承認するって英語でなんて言うの？

承認はほとんどの場合「Approve」を使います。
ビジネスではなおさらです。

しかしながら、承認を行うことは動詞なので、「Approve」は上から目線すぎるので、あまり使いません。承認するなら「sign off」の方がいいです。

部下の仕事を承認するのでしたら、「My job is to sign off on my subordinates' work」。

Approve を使うのは、例えば行政機関の承認を得る時に「We need approval from the authorities」などと使います。

1) approve (...をよいと認める・賛成する)

I check my subordinate's work and approve it when it done.
部下の仕事を確認し、完了したらよいと認めます。

2) acknowledge (認める・受け取ったことを知らせる)

I acknowledge my colleagues hard work when they've done a good job.
同僚が良い仕事をしたときに重労働のことを認めます。

3) accept (受け入れる)

I check my subordinates work and accept it if there aren't any problems.
部下の仕事を確認して、問題がなければ受け入れます。

場合によってちょっと違う意味の言葉が結構ありますが、全部がよく使う言葉なので好きに使ってみてください。

お役に立てれば幸いです!

何かに正式に「承認する」は、

"acknowledge"

という表現を使うことが出来ます。

"I acknowledge this by my signature."
「署名をもってこれを承認します。」

また、

"This has been approved."
「これは承認されました。」

と言うことも出来ます。

＜ボキャブラリー＞
acknowledge = 認める、承認する
approve = 認める、承認する

ご参考になれば幸いです。