Storyはどちらか言うとカジュアルなお話などを示すので、喋るという意味でConversationを使います。
よって以下のようになります：
I am worried that my conversations may be boring.
May be →かもしれない Maybeと同じですが、この場合はMayとBeを離して書きます。
ご参考になれば幸いです！
Story も話しという意味を持ちますがビジネスの場面に
使うには違和感がある単語だと思います。
この場合の私の話は my talk などと言うのも良いです。
Talk は動詞以外にも名詞として使えます。
講演や講演を意味する話なら lecture でも良いでしょう。
後者の文章は私の話で退屈させてしまうか不安って意味で
I'm worried that I may bore you with my talk です。
ご質問の文からは少し離れますが、
I hope my speech is not boring to you.
私の話があなた方にとって退屈でないといいのですが。
と言うこともできると思います。
講演会や会議ということでしたら、あなたがお一人で長く話す状況だと思うので、speech（演説）とも言えると思います。発表内容そのものでしたら、presentationでもいいと思います。
my storyは「小話」的なものだったり、「あなたの身の上話」だったりの時には使えると思います。
日本 
