最初に動物Aを飼い始めて、その後動物Bを飼い始めてからまもなくして動物Aが亡くなってしまったので、動物Aと動物Bを飼ってた時期が少し被ってました。
ペットを飼うのは「have a pet」の表現を使います。時間が被るのは「overlap」を使います。しかし、もっと言いやすくするのは「動物Aを飼う間に、Bも飼いました」です。「While I had A, I had B...」もっと詳しく説明したいなら、何の状態は文章の後ろにつけてもいいです。「Before A passed away」は文章の初めにすると「、」が必要です。「a little bit」は「ちょっとだけ」という意味でちょっとカジュアルな言い方です。