I had B for a little bit while I had A (before A passed away).
Before A passed away, I had B for a little bit while I had A.
ペットを飼うのは「have a pet」の表現を使います。時間が被るのは「overlap」を使います。しかし、もっと言いやすくするのは「動物Aを飼う間に、Bも飼いました」です。「While I had A, I had B...」もっと詳しく説明したいなら、何の状態は文章の後ろにつけてもいいです。「Before A passed away」は文章の初めにすると「、」が必要です。「a little bit」は「ちょっとだけ」という意味でちょっとカジュアルな言い方です。