「危うく間に合わないところ」って to just barely do X in time.
X が行動の動詞になります。
今回の「行動」は「課題の締め切りまで提出すること」だったので、
I just barely turned in my work in time.
in time はよく on time となります。どっちも同じ意味が持っています。
この場合、次のような言い方ができますよ。
ーI barely made the deadline for my assignment.
「課題の締め切りに危うく間に合わないところだった」
to barely make the deadline で「締め切りにかろうじて間に合う」
ーI just got my assignment passed in on time.
「時間ギリギリに間に合って課題を提出した」
just on time で「時間ギリギリに間に合って」
ご参考まで！
アメリカ合衆国 
カナダ 
