1) Be good while I'm doing the dishes.
「洗い物している間いい子にしててね。」
2) Play nicely while I'm doing the laundry.
「洗濯物してくるからいい子で遊んでてね。」
「いい子にしててね」と言うなら be good と言うのが良いかなと思います。または
play nicely「いい子で遊んでてね」
Can you play in your room while ...「…してくる間、部屋で遊んでてくれる?」
なども使えるかなと思います。
do the dishes「洗い物をする」
do the laundry「洗濯物をする」
ご参考になれば幸いです!