アッシー君は日本語の造語なので、英語でこれにぴったりのはないような気がします。
あえて言うなら
designated driver (任命された運転手・指定された運転手）
chauffeur （おかかえ運転手）
でしょうか。
I would be happy to chauffeur you around anywhere you like with no strings attached.
「条件なしであなたのことをどこにでも自動車で連れて行くよ。」
chauffeur は動詞「人を自動車で案内する」としても使えます。
no strings attached 「紐付きでない」＝「無条件で・付帯条件なしで」
このほかにも次のように言えます。
I would be happy to drive you anywhere you want but I'm not expecting anything in return.
「どこへでも喜んで運転するよ。見返りも求めないし。」
I'll be sure to drive you all around but I have no expectations whatsoever.
「君のためにあちこち運転してあげる。全く期待とかしてないから。」
ご参考まで！
カナダ 
