他にも良い表現があるかもしれませんが、about to 〜「〜するところだ」という表現は近いと思います。
I'm so sleepy. I'm about to faint.
とても眠い。気絶しそうだ。
「気絶する勢いで」という方の文脈ではこの場合あまり使わないのではないかと思います。faint は病的な症状をいうので、眠る時は「死体のように〜」の方が使うと思います。
He came home from the party and slept like the dead.
彼はパーティ(飲み会)から帰ってきて死体のように寝た。