恋人を、自分のものにするって英語でなんて言うの？

恋人を自分のものにすると言うと恋人の時点で両想いなので
ピンと来ないですが好きな人や片思いの人であれば
crush と言います。
片思い自体を crush とも言います。

自分の物で mine と言いますが余程独占欲が
ないとあまり使われません。

「彼女を自分のものにしたい」
"I want to make her mine" など

誰かを自分のものにする、という言い方は
to make someone your own
want someone all to oneself
のように言えると思います。

例：
I proposed to my husband when we were still in university because I wanted to make him my own.
「彼を自分のものにしたくて、大学在学中に今の夫にプロポーズしたの。」

I want her all to myself!!
「彼女を俺のものにして〜！！」

ご参考まで！

好きな人を恋人にしたいという意味でしょうか？

I want him/her.
彼／彼女が欲しい。（恋人が欲しいという意味ではなく、その人が欲しいという意味です）

I want him/her to be mine.
彼／彼女を私のものにしたい。

ただ、これらはやはり肉欲や独占欲を示す表現なので、人によっては不快に感じるかもしれませんし、人によっては情熱的だと捉えるかもしませんし、難しいところです。私自身は大体悪役が言っているのしか聞いたことがありません。

もっと清い感じで行きたいのならば

I want him/her to be my lover.
彼／彼女に私の恋人になってもらいたい。

I want him/her to love me.
彼／彼女に私を愛してもらいたい。

などがあります。