Rikaさんの文で大丈夫ですよ!
他にも
crash on one's bed
pass out on one's bed
collapse on one's bed
のような言い方もできます。
例:
I was out singing Karaoke all night with my friends. When I came home I was so tired I just collapsed on my bed.
「友達と一晩中カラオケで歌ってて、家に帰ってきたら、すごく疲れていてベッドに倒れ込んだ。」
collapsed on my bed の代わりに
passed out on my bed
crashed on my bed
とも言えます。
ご参考まで!
I was so exhausted that I just collapsed onto the bed.
「疲れてベッドに倒れこむ」は collapse onto the bed や crash into bed と言うのが自然です。
例:
I was so exhausted that I just collapsed onto the bed.
ものすごく疲れていて、ただベッドに倒れこみました。
I got home and crashed into bed immediately.
家に着いて、すぐにベッドに沈み込みました(爆睡しました)。
・I fell onto the bed exhausted.
「疲れ切ってベッドに倒れこみました」
fall onto ~(〜の上に倒れる、落ちる)と exhausted(疲れ切った)を組み合わせることで、伝えられます。
・I collapsed onto my bed.
「ベッドの上に倒れこみました」という意味の表現です。