"Could I get ~ please?" は、「～を頂けますか？」と相手にお願いする時の、とても丁寧な言い方です。もう少しカジュアルに言いたい場合は、"Can I get ~?" という表現を使うこともできます。
"another" は「もう一つの、他の、別の」ということを表します。
"one" は代名詞で、人や物を指し示します。ここでは「（今買った物と同じ）物」を表します。
よって、"another one" で「今買った物と同じ物をもう一つ」となります。
この代名詞"one"は、日常でも大変よく使われるので、いくつか例文を挙げておきます。
"He is the one who won the lottery."（彼が宝くじに当たった人です。）※one=person
"I would like this cake, and that one too."（このケーキと、あのケーキも欲しいです。）※one=cake
"She picked the spiciest one from the menu."（彼女はメニューから一番辛い料理を選びました。）※one=dish（料理）
"another one" の代わりに、"one more"（もう一つ（多くの物））を使うこともできます。
是非この表現を使ってみて下さい。
日本 
