お忙しい中、突然、短い期限での依頼となりすみませんって英語でなんて言うの？

「お忙しい中」を英語で言いたいときに、一番よく使われている表現は

I know you're very busy (直訳：大変忙しいとわかっています)
I'm sure you're busy (直訳:忙しいでしょう)

になります。during your busy timeは通じはしますが、言わない表現です。

I'm sorry for the sudden request and for such short notice (suchは「こんなに」みたいな意味で使われていますね)
「短い期限での依頼となりすみません」

short deadlineはなんとなく言わない表現ですね。short noticeで意味を理解できます。
sudden は「急な」なので、sudden request で「急な依頼」と言えます。

ご参考になれば幸いです。

この場合、次のような言い方ができますよ。

ーSorry to ask you to do this on such short notice and give you a deadline on top of that when you're so busy.
「お忙しい中、突然の依頼で、しかも期限付きでお願いしてすみません」
on such short notice で「突然の依頼で」
deadline「締切・期限」

ご参考まで！

こんにちは！
ご質問ありがとうございます。

先のアンカーさんが回答されているので、ここでは他の例を挙げてみます。

I apologize for the sudden request on short notice during your busy schedule.
とすると、『お忙しい中、突然、短い期限での依頼となりすみません』となります。

役に立ちそうな単語とフレーズ
short notice 急な話・お願い

参考になれば幸いです。