ホッコリするって英語でなんて言うの？

「ほっこりする」を「心地いい」、「落ち着く」、「癒される」などのように解釈して、次のような表現をご紹介します。

feel comfortableで「心地よく感じる」という意味です。

I feel comfortable in a Japanese-style room.
「和室にいると落ち着きます」

このようなニュアンスで使います。

ほっこりするイメージに必ずしもマッチしないかもわかりませんが、heal my mindも個人的にはお勧めです。
healは「（怪我や病気などを）治す」という意味ですが、

Your smile always heals my mind.
「君の笑顔はいつも僕の心を癒してくれる」

のように、「心を癒す」という意味で使うこともできます。

最後に、feel at easeです。
これは「安心する」という意味の表現で、

Dogs make me feel at ease.
「犬が安心させてくれる」

のように使うことができます。
犬たちに囲まれてほっこりしているイメージが浮かびます。

ご参考になれば幸いです。

「To feel relaxed」は普通にリラックスするという意味です。

「To feel warm inside」は、心が温かくなる、ストレスや疲れが取れる、長い一日が終わって家に帰ってお風呂に入ってるときにフーッとなるなどの時を示したい場合に使えます。

"warm"は、「あたたかい」

"fuzzy"は、「ほぐれた」

"comfortable"は、「心地よい」

という意味です。

"a warm fuzzy feeling"は、愛らしい動物や子どもを見た時などの幸せな気持ちを表現する時に使います。

ご参考になれば幸いです。

feel at ease
安心する、心が休まる

feel relaxed
リラックスする

いずれも「ほっこりする」というニュアンスで使うことができる英語表現です。

例：
I feel at ease when I see her smiling.
彼女が笑っているのを見るとほっこりします。

お役に立てれば嬉しいです。
またいつでもご質問ください。