（実際はしたくなかったのに）サインしちゃったって英語でなんて言うの？

「サインをする」は "sign" と表します。

"reluctantly" は「しぶしぶ、仕方なく」という意味です。形容詞の "reluctant" を使って "I was reluctant to sign." としても良いでしょう。
また、"I signed with reluctance."(しぶしぶサインした) と言うこともできます。

"be unwilling to 〜" は「〜することに気が進まない」ということを表します。
他に "I signed unwillingly." と言っても良いでしょう。

★【日本語変換術】実際はしたくなかった→自分の意思に反して

直訳は「したくなかったのだが、サインしてしまった」です。
きれいな言い方をしようとすれば他のアンカーの方の回答通りですが、もっと簡単な言い方で、難しい熟語などを一切使わず表現するとすればこうなります。
会話ではこういう心がけはすごく大切です。