「get the hang of it」は進歩の話しでとても便利な表現です。どういう意味かと言うと、「昔はこういうことが難しかったし困ったし絶望だったけど、今はまだまだのところがあっても私は結構できるようになってきた」と言う意味です。
「start to click」はほぼ同じ意味で、電気が突然につくみたいに今までの分かりにくいことを分かるようになる、と言う感じです。
My talent in speaking English has finally been awakened.
My English has suddenly started improving.
おっしゃられている内容は、以下のようにも表現できると思いました(*^_^*)
My talent in speaking English has finally been awakened.
「英語を話す才能がついに目覚めた」
awakenは「目覚めさせる」という意味で、ここでは、has been awakenedという現在完了の受け身で使っています。
あとは、普通の言い方では
My English has suddenly started improving.
「私の英語が突然上達し始めた」
のように言っても良いと思います。
以上です。
少しでも参考になれば幸いです(*^_^*)
★★大阪カフェレッスン英会話講師KOGACHI