炎上して売名行為って英語でなんて言うの？

He's doing it on purpose as a publicity stunt.（彼は売名行為として、わざとそれをやっています）
※on purpose（故意に）

「炎上して」というのは、あえて英訳しなくても、炎上させている行動そのものを示せば（ここではHe's doing itの部分）そのニュアンスは状況から伝わります。

「a publicity stunt」はsomething silly or unusual that is done to get public attentionという意味で、「世間の注目を得るための、馬鹿げたあるいは奇抜な行為」を指します。

ちなみに、このstunt（馬鹿げた行為、妙技）は映画で俳優の代わりに危険な役を演じるスタントマンstunt manの元になる名詞です。

ネットやマーケティングの話なら、「炎上する」を英訳すると「go viral」と言います。元は医学、特に病気に対する言葉ですが、「viral」はネットで人気となった投稿とか写真、ビデオなどに対しても使われるようになってきました。「ウイルスみたいに短い間にネットやSNSの色々なところまで広まっている」と言う意味です。