伝統を受け継ぐって英語でなんて言うの？

「Carry on」には、「引き継いで行う」という意味があるので、伝統を受け継ぐ・継承するという表現によく使われます。会話の中で「（話を）続けて」という感じで使うことともあるので覚えておくと便利です！

1. Successでオッケーです。王位継承に関しては、throne「王位、皇位」といったワードを組み合わせることで使います。A Game of Thronesでお馴染みですね。

He is in the first line of the succession to the throne.
「彼は王位継承(相続)の第一人者だ。」

2. 伝統に関しては、どちらかというとpreserve「〜を守る」の方がしっくりきますね。このpreserveは、保護するというニュアンスの入った単語です。伝統を受け継ぐのなら、successでオッケーだと思いますし、そのメッセージさえ合っていればオッケーなのでしたら、preserveも良いと思います。

We should make efforts for the preservation of Japanese traditions.
「私たちは日本の伝統を守っていくために努力していくべきだ。」

ご質問は「王位の継承とか遺伝的な継承というイメージ」でない場面の「伝統」のことですが、たしかに succeed to 〜は王位継承のような使われ方が多いようです。

一方、inherit は文化などでも使われるので伝統について使っても違和感はありません。

また、文化のようなものであれば、continue あるいは develop を使うことで、受け継ぎ、さらに発展させるといった意味になります。
observe はそれに比べると、伝えられてきたしきたりなどについて守る、維持するという意味になります。

なお、最初の develop a tradition of に不定冠詞 a が付いているのは、of の後に具体的な内容がくる場合は、tradition のような抽象名詞にも不定冠詞がつくという語法です。