眠くなってきたって英語でなんて言うの？

I’m getting sleepy, so can take a nap? 「眠くなってきたから少し寝てもいい？」

ここでの so は「なので」のような言葉になります。

I’m sleepy. は既に眠いという表現になるので、be -ing にすることで眠くなってきているという意味を表せます。

take a napはうたた寝、仮眠の意味です。

ご参考になれば幸いです。

「眠くなってきた」＝　I'm starting to feel a bit sleepy / I'm beginning to feel a bit drowsy / I'm starting to drop off!

ボキャブラリー
眠い　＝　sleepy, drowsy
drop off ＝　寝てしまう
starting/beginning to ＝　し始める
feel ＝　感じる、～しそう

Sleepy 以外なら、 tiredも実は「眠い」という意味があります。

I’m starting to feel a bit tired.
ちょっと眠くなってきました。（疲れてきました）

参考になれば幸いです。

他のアンカーの方も回答してらっしゃるように、
「眠くなってきた」はI'm getting sleepy.と訳せます(^_^)

類例を挙げます。
I'm getting tired.「疲れてきた」
I'm getting busy. 「忙しくなってきた」
It's getting colder. 「寒くなってきた」

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)

★★大阪カフェレッスン英会話講師　KOGACHI