I’m getting sleepy, so can take a nap? 「眠くなってきたから少し寝てもいい?」
ここでの so は「なので」のような言葉になります。
I’m sleepy. は既に[眠い](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/3980/)という表現になるので、be -ing にすることで眠くなってきているという意味を表せます。
take a napは[うたた寝](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/59804/)、仮眠の意味です。
ご参考になれば幸いです。
「眠くなってきた」= I'm starting to feel a bit sleepy / I'm beginning to feel a bit drowsy / I'm starting to drop off!
ボキャブラリー
[眠い](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/3980/) = sleepy, drowsy
drop off = 寝てしまう
starting/beginning to = [し始める](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/68221/)
feel = 感じる、~しそう