ユニークなシチュエーションですね。
「I'm very sorry but....」を冒頭に持ってくると"大変[申し訳ない](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/48054/)のですが"のニュアンスがキャッチされます。
でもこの様な場合、「I know this sounds weird but....」の方がいいかもしれないですね。
普段他人の子供を運ぶことは日常には無いと思う為、以下の例文を参考にしてください:
I know this sounds weird but....could you help me carry my child over there?
「大変申し訳ないのですが」はとても日本人のフレーズで、英語にうまく翻訳するのは難しいです。直訳すると「I really don't have any excuse but...」になりますが、それは何かにお願いするときに使うとおかしいです。
意味的に近くて自然な表現は「I'm terribly sorry but...」(すみませんですが)あるいは「Sorry to trouble you but...」(ご迷惑をかけしますが)
あとは、日本語では「大変申し訳ないのですが」は完成した文章になれますが、英語では必ず「が」の後に続きを入れないと言っていることが終わっていないと思ってしまいます。
I'm terribly sorry but... ☓ 文章にはならない
I'm terribly sorry, but could I ask you to help me carry my sleeping son over there? ○
→ 大変申し訳ないのですが、寝ている息子をあそこまで運んでもらえますか?
YUKOさん
ご質問どうもありがとうございます。
上の文脈を英語で表現したい場合は、下記の表現ではいかがでしょうか。
・I'm sorry to bother you, but do you think you could help me carry my child over there?
--- do you think you could help me carry ___ = ~を運んでもらえませんか?
ご参考にしていただければ幸いです。