desire は「[欲望](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/86197/)」「渇望」「熱望」など、どす黒い[感情](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/34013/)や熱い感情も含めて希望することだと思います。追い求める姿勢や対象の違いです。なので会話で使う頻度はそこまで多くないと思います。
I desire to get this job. または I have a desire to get this job. ＝「私はこの仕事に就くことを熱望している」（後者の言い方のほうが多い気がします）
hope はdesireに比べると清い感じがします（特に名詞の場合）。動詞の場合、自分ではどうにもならないものを願う時などに使うことが多いでしょうか。明確な意思で望む場合は want の方が適切な感じがします。
This is my only hope. ＝「これが私の唯一の希望だ」
I hope she can come here on time. ＝「彼女が時間通りに来れるといいけど」
I want her to come here on time. ＝「私は彼女が時間通りに来ることを希望する」
他に似たような言葉では wishもありますが、これは「願う」ですので、hopeよりも更に人間レベルの力ではどうにもならないものや、「〜だったらよかったのに〜」という時に使うものです。
I wish you were here. ＝「あなたがここにいれたら良かった」
I wish you all the best. ＝「幸運をお祈りしています」
yamadaさん、ご質問ありがとうございます。
基本的に「希望する」というのは hope になりますね。
例文 I hope we can get in early.
「早く入れることを希望します。」＝「早く入れると嬉しいです。」
desire もありますが、これは hope より、心の深いところに何かが欲しいというニュアンスがあります。
hope はそれより、一般的に、何かがあればいいなとか、何かをして欲しいという言い方です。
例文 I hope to finish work early tomorrow.
「明日、[仕事](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/37171/)を[早めに](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/50206/)終わることを希望します。」
例文 He never spoke about his true desires.
「彼は、本当に希望していることを話していませんでした。」
ご参考になれば、幸いです。
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