戦うって英語でなんて言うの？

"to compete with"：
「競争」の意味です。
"with"が使われているとき、激しくない競争だと思います。

"to compete against"：
「競争」の意味です。
"against"が使われているとき、もっと激しい競争だと思います。

"to go against"：
ちょっと曖昧な言い方です。

例文："The tennis players competed with each other to win."＝「選手たちがテニスの試合で優勝するために戦いました。」

例文："The tennis players competed against each other to win."＝「選手たちがテニスの試合で優勝するために戦いました。」

例文："The tennis players went against each other to win."＝「選手たちがテニスの試合で優勝するために戦いました。」

また、喧嘩するような意味がない"fight"も言えます。
既にスポーツの話になったなら、怒り・憎しみ・暴力がないことは文脈で明白です。
日本語だと、選手を励ますための「ファイト」の意味合いに近いと思います。

例文："The tennis players fought with each other to win."＝「選手たちがテニスの試合で優勝するために戦いました。」

例文："The tennis players fought against each other to win."＝「選手たちがテニスの試合で優勝するために戦いました。」

例文："The tennis players are fighting to win."＝「選手たちがテニスの試合で優勝するために戦っています。」

喧嘩する意味でなくてもこのような文脈でも fight と言います。

「優勝するために戦う」は fight for victory や fight for the goal と言えます。

オリンピックの金メダルであれば fight for the gold metal や fight for the gold と言えます。Fight for the gold をオリンピックの放送でよく聞くような気がします。

ご参考になれば幸いです。

1.) to compete (戦う)　「戦う」は英語でto fightと普通に訳せます。喧嘩というニュアンスではないの「戦う」は試合関係でto compete(競争する)という意訳のが訳出できます。
例えば、
I decided to compete for the championship in the tennis match. (テニスの試合で優勝するために戦うことを決心しました)

スポーツの試合自体が戦いの場なので喧嘩が起こりえると思うのですが
自分が精いっぱいやるという意味での戦うでしたら
to strive hard などが良いと思います。

「テニスの試合で優勝するために戦うことを決心しました。」
"I've decided to strive hard in order to win the tennis match" など

最後の to make every effort は精一杯努力するとの意味で「戦う」です。

To engage in a tennis competition = テニス試合に参加する
To try hand at smth　＝ 力を試す　（直訳じゃないですが）　

例：
I decided to engage in a tennis competition = テニス試合に参加することにしました。
I want to try my hand at tennis competition = テニス大会で自分の力を試してみたいです。

役に立てば嬉しいです！

「戦う」の英語は fightになりますが、Shiroさんの質問の文脈だったら
「テニス試合に出場することにした」と言う英語になりますね。

fight を使った例文
Tibet continues to fight for its freedom.
チベットは自由のために戦い続ける

My sister and I fight like cats and dogs.
姉と私の喧嘩はまるで犬と猫の喧嘩です

スポーツにおいての「戦う」には様々な英語があります。
“play” はスポーツの試合をするという意味なので、十分戦うという意味になります。
I decided to play hard to win the tennis tournament.
「テニスのトーナメントで優勝するため一生懸命プレーすることを決心しました」

“fight” はそのまま戦うという意味になり、実際に拳を交えるもの以外にも広く使うことができます。
I fought for a victory, but I lost the tennis game.
「勝利に向けて戦ったけれど、そのテニスの試合に負けてしまった」

“compete” は「競争する、争う」という意味になります。
I competed for the victory with rivals.
「ライバルと勝利をかけて戦った（争った）」

“strive” は「努力する、頑張る」という意味での戦うになります。
He decided to strive to win the game.
「彼はその試合に勝つため懸命に努力することを決心した」

“face off” も戦うという意味になります。元はアイスホッケーで試合が始まるときにお互いが向き合っていることから生まれた単語で、対戦者同士が向き合う一触即発のニュアンスがあり、物事に真剣に取り組むことも意味します。
I will face off against a friend of mine in the first round.
「私は一回戦で友人と対決する（戦う）ことになる」

このように色々な「戦う」があります。英字新聞などでもこのように戦うを色々と言い換えて表現しています。是非自分の使いたい「戦う」を使ってみてください。

こういう場合は｢to strive｣や｢to exert｣で努力する､力を尽くすと言う意訳で表現できます｡

例
･I'd like to strive to win this tennis match（このテニスの試合に勝てる様に努力したいです）