仲良くなりたいって英語でなんて言うの？

I would like to〜 (I'd like to）は I want to〜のちょっと丁寧な表現です。
I want to〜が自分の意思表示のみの「〜したい」だったとしたらI would like to は「（私は）〜したいのですが…」と相手の意思を確認しているニュアンスです。

「初めて出会った時からあなたと仲良くなりたいと思っていました」という表現は、相手の意思は関係なく、自分がどう思っているかの話なのでI want のみが使えます。

I wanted to be friends with you since we first met. となります。

be friends with ... で「〜と友達になる」「〜と仲良くなる」と英語で表現できます。
friend(s) が「友達」です。

「友達になりたかった」までの英訳 "I want to become friends with you." はちょっと直接すぎだと思います。相手がどんな気持ち持っているかわかりませんが、今までの付き合いの中でどこまで友達になったかを考えながら英訳を選んだ方がいいです。

すごくいい感じで、もう近くて「友達」になる風だったら、 I wanted to be friends with you の方がいいと思います。「今は友達で、よかった。前からも友達になりたかったらから。」というイメージを与えます。

しかし、まだ「友達」になってなかったら、これからその方向に歩みたいと思っているなら、 I would like to get to know each other better の方がベスト！「これから、お互いのことをもっと深く知るようにしたい」と言う気持ちを表します。相手に「友達になれるか？」というプレッシャーをかけないように、お互いが協力して「友達」と言う友達を自然になれる機会をこれから作ることを求めてますと。

どうでしょうか？ ^.^

こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば下記のような表現はいかがでしょうか：

・I want to be friends with you.
あなたと友達になりたいです。

be friends は「友達になる」というニュアンスを持つ英語表現です。

ぜひ参考にしてください。