泣かずにバイバイ出来た！って英語でなんて言うの？

You said good-bye without crying! Good job!
泣かずにバイバイ言えたね！よくできました！

do 〜 without ++ というと「++なしで〜した」という意味になります。
Good jobは特に子供に対して褒める時によく使えるフレーズです（もちろん大人にも使えますが）「良い仕事をしたね」＝「よくできたね」という意味になります。

バイバイの場合は do ではなく、say になります。

ただ、sayを使わずに以下のような言い方もできると思います。

You did it! You didn't cry even when I'm gone!
やったね！私が行ってしまった時もあなたは泣かなかった！

You did it! は「やったね」「できたね！」という方で、こちらもよく子供を褒める時に使われるフレーズです。

ご質問ありがとうございます。

相手は小さい子供なので、簡単の言葉の方がいいです。

１番目の例では主語は「you」＝「あなた」です。

２番目の例では主語は「I」＝「自分」です。

どっちでも使っても通じると思います。もちろん、子供に言うので、何かの励ます言葉も言った方がいいかもしれません。

例えば、「Good job!」＝「グッジョブ！」、「Nice job!」＝「ナイス！」、などでいいです。

ご参考になれば幸いです。