あなたに振り回されたくないって英語でなんて言うの？

丁寧に言いたいということですが、はっきりと直接的に言った方が良いのでは。

あなたに振り回されたくない＝悩まされたくないということなのでbotherを使ってもよいのではないでしょうか。

I don't want to be bothered by you.
＝あなたに悩まされたくない。

・"play with me" は、どちらかというと”弄ばれている”という感覚です。　「私の気持ちを弄ばないで！」という時に"Don't play with me! "と言います。それにPleaseをつけましたが、どちらかというと親しい間柄（恋人同士など）にチクリと、しかしやや怒りを込めて言うイメージです。

・"at the mercy of〜"は”〜次第・に左右される”　という意味です。
私のスケジュールはいつもあなたのwhim (気まぐれ）次第、という言い方で、私はあなたに振り回されている、というニュアンスを伝えました。
I don't want to change my schedule any more... と付け足してもいいかもしれません。（私ならハッキリ言っちゃう）

I don't want you messing up my schedule all the time.
いつもあなたに予定を狂わされたくないの。

上記のように英語で表現することもできます。
all the time は「いつも」という意味の英語表現です。
mess up はここでは「めちゃくちゃにする」「狂わせる」です。

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