俺はそんなの気にしないよって英語でなんて言うの？

I don’t care about that.

care : (動詞)　気にかける、気にする

I don’t care about that.

私はそれについて気にしません。

Care about ～　で「～に関心がある」という意味も持っていて、もしこの意味に「俺はそんなのあんまり気にしないよ」と意見を弱めて言うなら、

I don't care about that much.

で最後にmuchを使うと、そのようなニュアンスを出すことができます。

よかったら使い分けて使ってもらえれば幸いです。

bother は「悩ます、気にする」という意味ですので、It doesn't bother me. と言えば「気にしないよ」という意味になります。
また、at allをつけることで、「全く気にしてないよ」と強調することができます。

"That doesn't bother me."
俺はそんなことを気にしない。

これはこの状況で一番良い文と思います。この表現は日本語の「俺は気にしない」に近いし、ニュアンスは全然悪いではありません。

"It doesn't matter to me." か "I don't care about that." も言えますが少し直接的過ぎだと思います。意味は上の文に近いですが特に "I don't care" のニュアンスは冷たいと思われます。でも、このような文は良いと思います：

"It doesn't matter to me. I don't care if you love men or women, all that matters is that you're a good friend!"
俺はそんなことを気にしないよ。恋愛対象は男でも女でもかまいません。大事なのは俺の良い友達だから。

care=気にする、気にかける

I don't care about it.
気にしてないよ。（私は気にならない）
I don't care about it at all.で、
全然気にならないよ。という言い方になります。