手続きを進めるって英語でなんて言うの？

手続きは紙の場合では手続きの「procedure」ではなくて、紙の「paper」と呼ばれてます。又は②申込書の「application」。進み中の場合は「Your application is being processed.」と言います。
終わったとこは文章の受け身になって、「Your application has been processed.」状態はネットで確認するときは「processed」が書いてあり、手続きは全部もう終わりましたという意味です。
手続きも待っていて、まだ進んでない場合は「Your application is waiting to be processed.」と言います。またネットで「waiting」が書いてあります。

＜ボキャブラリー＞
being processed = 手続き中
has been processed = 手続きが完了しました
waiting to be processed = 手続きを待っています

手続きは英語で"process"に翻訳できます。
進めるは英語で"moving forward"や"advance/advancing"に翻訳できます。
留学は英語で"study abroad"です。

翻訳：「留学の手続きを進めています。」
"I'm moving forward in the study abroad process"
"I'm advancing in the study abroad process"

「手続き」は直訳すると"process"または"procedure"になります。

「進める」は英語にたくさんの同意語があります。全部は先の方向に行くという意味を表します。
Proceed with
Go ahead with
Continue with

I am proceeding with the study abroad application.
留学の申請手続きを進めています。

I am moving forward with the visa application process.
ビザの申請手続きを進めています。

どんな英語を使うかは、「誰が」手続きを進めているによります。

自分が必要な書類を用意したり、申し込み用紙を記入したり、希望動機についての小論を書いたりしているところだったら、以下の例文を参考にしてください。

「I'm working on applying to a study abroad program.」
「留学の申し込みに必要なものを今準備しています。」

「I'm currently applying to a study abroad program.」
「今、必要なものを集めて留学の手続きを進めています。」

必要な書類などが揃って、もう提出先に出したことだったら、以下の例文です。

「My application to study abroad is being processed.」
「留学の申し込みが現在手続き中です。」

一番目は直訳的な感じです。
英語で「手続き」の訳語通りにprocessやprocedureを、日本語のほどあまり使わないと思います。
そして、二つ目と三つ目は一番自然な言い方だと思います。

I'm applying to study abroad
留学の申請手続きは順調に進んでいます

留学中なら、
My study abroad is going well
留学は順調に進んでいます

ご参考になれば幸いです。

ご質問ありがとうございました。

「手続き」は英語で言うと「Process」とか「Paperwork」でもよく使いますが、この場合は違うと思います。
留学とか大学の手続きの場合は「Application」を使いますね。

「留学の手続きを進めています」は英語で言うと「I am currently applying to study abroad」と言います。もっと細かく言いたいのならば「I am doing the paperwork to apply to study abroad」でも言えます。「進む」は「Moving forward」と言いますので「I am moving forward with the paperwork for studying abroad」でも説明が出来ると思います。

役に立てば幸いです。

「手続き」は文脈によって訳出が違いますが、とりあげた留学の手続きという文脈では「application」又は「application process」です。

「進める」は「going ahead with」、「continuing」又は「proceeding with」です。

例文：
I am proceeding with my application to study abroad in the United Kingdom.
イギリスでの留学の手続きを進めています。

参考になれば幸いです。

こんにちは。
さまざまな言い方ができると思いますが、下記のような英語表現はいかがでしょうか：

go ahead with the process/procedure
手続きを進める

go ahead with ... は「〜を進める」という意味の英語表現です。

ぜひ参考にしてください。