寂しがり屋って英語でなんて言うの？

英語では「寂しがり屋」とは言わないので他の言い方をします。

①は、「うちのウサギはすぐ寂しくなる」という意味です。

get lonely = 寂しくなる
easily = 簡単に、すぐに

②は、「うちのウサギはいつも他の人といたい」という意味です。

always = いつも
wants to be with other people = 他の人といたがる

「寂しがり屋」は色々な言い方があります。

人も表現も十人十色。重複回答を避けるのも兼ねて、今日は違う言い方をご紹介します。

「寂しがり屋」は言い換えれば以下の様にも言えます。
１）(飼い主から）相手にされるのが好き
２）TLC＝Tender loving careが必要である
３）私（飼い主）と一緒にいるのが好き

１）(飼い主から）相手にされるのが好き
My rabbit needs a lot of attention from me.

「Attention」は「注意・気配り」などを意味します。ペットの世話も子供の世話も、注意や気配りが不可欠ですよね。ですので、動物関係や教育関係、医療系、またはママ・パパ英語などで言う「Attention」は「お世話するための気配り」を意味します。
この表現はよく使うので、特にペットオーナーさん、パパ・ママさん、覚えておきましょう。

２）TLC＝Tender loving careが必要である
My rabbit needs TLC.

TLC＝Tender loving careは、動物関係、医療系、または育児教育関係等の業界用語としてよく聞きます。TLC＝Tender loving careは、直訳すると「優しいお世話」の事。大きい、優しい心で接しましょう、と言う様な意味。
保護直後の動物や、術後のお世話、それから手がかかるペット（例：子猫・犬、寂しがり屋）などにも使います。

３）私（飼い主）と一緒にいるのが好き
離れるのが嫌、という事は、一緒にいるのが大好き！と言う事ですよね。
だから、My rabbit loves being with meでオッケーです。

I hope it helps :)

「わたしのウサギは単独でいたがらない。」（一匹でいるのを嫌がる）

alone は「単独」「孤立した」という意味があります。

Rabbitとbunnyには明確な区別はありません。
日本語で言う「うさぎ」と「うさちゃん」のような違いでしょうか・・・。
蛇足ですが、イースターの時に見かけるウサギはEaster bunnyと言います。