安心しましたって英語でなんて言うの？

「気がラクになりました」という感覚でしょうか。(2) の場合は、feelの代わりにamで言われてももちろんオッケーです。

安心感をさらに強調したい場合などは、
"I am so relieved now!"
"I feel absolutely relieved!"
などと、"so"や"absolutely"を加えて言う人も多いですよ。

安心した というフレーズには
take a load off one's mind があります。
load 積み荷 ・重荷
take ~off… ~を…から取りのぞく

ということで「それは（相手の間違いだったということ）が心配事を私の心から取り除いた」というのが直訳で、
「やっぱり私が間違ったんだろうか・・・という心配・懸念がなくなってホッとした」ということです。

その他 ２つ目の文のように、relieve （~をホッとさせる）という単語を使い、
I'm relieved to hear that.(それを聞いてホッとした） ということが出来ます。

3つめの文も
reassure 「安心させる。自信を取り戻させる）を使い、
It reassured me. (それ（を聞いて）安心した）と言う意味です。

「ホッとした。安心した」だけなら、これで大丈夫です(^^)

「安心しました」は英語で I was relieved になると思います。

「ミスを指摘されたが、相手の勘違いだったということで、安心しました」と言いたいなら
I was told I made a mistake, but it turned out the other person was wrong, and so I felt relieved が一つの言い方です。

単に「安心した」とカジュアルに言いたいなら What a relief と言えます。

ご参考になれば幸いです。

「安心しました」「ホッとした」 は英語で　
I was relieved/I felt betterと言います。

以下に、例文を挙げておきます。参考にしてみてください。
1) I was so relieved to hear that you weren’t hurt.
あなたに怪我がなかったと聞いて安心しました

2) I felt much better after filling my gas tank up.
ガソリンを満タンにできて安心しました。

私は、車のガソリンがいつも満タンじゃないとそわそわしてしまいます。だから満タン給油をするとホントに I felt better!

I was relieved.
→安心しました。

I'm so relieved.
→ホッとした／よかった。

What a relief.
→ホッとした／よかった。

「安心しました」は場面によっていくつか言い方があります。

「relieved」は「安心した」「ホッとした」という意味の形容詞です。
「relief」は「relieved」の名詞形で、「安心」という意味です。

ご質問ありがとうございました。

「安心する」ということは英語で「feel relief」や「feel better」で表現できます。
だから、「相手の勘違いだったということで、安心しました」は英語で「I feel relieved since it was just a misunderstanding」や「I feel better since it was just a misunderstanding」表現します。

例文：
「問題を解決して安心しました」
→「I feel relieved after resolving the problem」
→「I feel better after resolving the problem」

「彼が無事で帰って安心しました」
→「I feel relieved that he came home safe」
→「I feel better that he came home safe」

ご参考になれば幸いです。