「[気がラクになりました](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/107191/)」という感覚でしょうか。(2) の場合は、feelの代わりにamで言われてももちろんオッケーです。
[安心感](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/61086/)をさらに強調したい場合などは、
"I am so relieved now!"
"I feel absolutely relieved!"
などと、"so"や"absolutely"を加えて言う人も多いですよ。
[安心した](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/40328/) というフレーズには
take a load off one's mind があります。
load 積み荷 ・[重荷](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/11036/)
take ~off… ~を…から[取りのぞく](https://eikaiwa.dmm.com/uknow/questions/51345/)
ということで「それは（相手の間違いだったということ）が心配事を私の心から取り除いた」というのが直訳で、
「やっぱり私が間違ったんだろうか・・・という心配・懸念がなくなってホッとした」ということです。
その他 ２つ目の文のように、relieve （~をホッとさせる）という単語を使い、
I'm relieved to hear that.(それを聞いてホッとした） ということが出来ます。
3つめの文も
reassure 「安心させる。自信を取り戻させる）を使い、
It reassured me. (それ（を聞いて）安心した）と言う意味です。
「安心しました」は英語で I was relieved になると思います。
「ミスを指摘されたが、相手の勘違いだったということで、安心しました」と言いたいなら
I was told I made a mistake, but it turned out the other person was wrong, and so I felt relieved が一つの言い方です。
単に「安心した」とカジュアルに言いたいなら What a relief と言えます。
ご参考になれば幸いです。
「安心しました」「ホッとした」 は英語で
I was relieved/I felt betterと言います。
以下に、例文を挙げておきます。参考にしてみてください。
1) I was so relieved to hear that you weren’t hurt.
あなたに怪我がなかったと聞いて安心しました
2) I felt much better after filling my gas tank up.
ガソリンを満タンにできて安心しました。
私は、車のガソリンがいつも満タンじゃないとそわそわしてしまいます。だから満タン給油をするとホントに I felt better!
I was relieved.
→安心しました。
I'm so relieved.
→ホッとした／よかった。
What a relief.
→ホッとした／よかった。
「安心しました」は場面によっていくつか言い方があります。
「relieved」は「安心した」「ホッとした」という意味の形容詞です。
「relief」は「relieved」の名詞形で、「安心」という意味です。
ご質問ありがとうございました。
「安心する」ということは英語で「feel relief」や「feel better」で表現できます。
だから、「相手の勘違いだったということで、安心しました」は英語で「I feel relieved since it was just a misunderstanding」や「I feel better since it was just a misunderstanding」表現します。
例文：
「問題を解決して安心しました」
→「I feel relieved after resolving the problem」
→「I feel better after resolving the problem」
「彼が無事で帰って安心しました」
→「I feel relieved that he came home safe」
→「I feel better that he came home safe」
ご参考になれば幸いです。
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