最善を尽くすって英語でなんて言うの？

do/try one's best が最も簡単で一般的だと思います。

他には、
　do all/everything what one can do（できることを全てする）
という表現や、この変形で
　do everything possible
という言い方もあります。

意味の違いはありませんが、一般的に、表現が長くなるほど相手に与える印象も強いという効果はあります。

最善／ベストを尽くす = 簡単で言うと、"do one's best" です。
こちらの"one"は「誰か」、「ある人」の意味で、単数の代名詞です。
自分のことについてこの表現を言いたい場合は"do my best," 相手と話している場合は"do your best"、などなどです。

Give it one's best shot = 直訳は「ベストの試みを尽くす」
Try one's hardest = 頑張る

この３つの提案は全部ニュアンスが同じですので、どちらでもをご自由にお使いくださいませ。ただ、１番目は最も簡単です。

ご質問どうもありがとうございます。
様々な表現があると思いますが、いくつか自然な表現を紹介します。

• to give your best
• to do your best
• to do something at the best of your ability

事例:
--- I will try to help you to the best of my ability.
(精一杯【または: 力の限り】あなたの手助けをしたいと思います！

お好みに合わせて使い分けてみてください。
ご参考にしていただければ幸いです。

こんにちは。
様々な言い方ができると思いますが、例えば下記のような表現はいかがでしょうか：

・do one's best
最善を尽くす

one's best で「その人の最善」を英語で表すことができます。

例：
I will do my best!
最善を尽くします！

ぜひ参考にしてください。

おっしゃられている内容は、以下のようにも表現できると思いました(^_^)
do one's best
「全力を出す」
do everything I can
「できることを全てやる」
do one's utmost
「最善を尽くす」

以上です。
少しでも参考になれば幸いです(^_^)