役割を果たすって英語でなんて言うの？

fulfill one's dutyは、「自分の義務を果たす」という意味です。

fulfillは、「十分｣を意味するfulという語と「満たす｣を意味する fillという語を組み合わせてできた言葉です。「満たす｣「全うする」「果たす」などの意味があります。よく「義務」「命令」「約束」などの言葉と一緒に使われます。

She waited for him to fulfill his promise that he made 10 years ago.
彼女は、彼が１０年前にした約束を果たすのを待っていてくれた。

dutyは「義務」「仕事」「務め」「任務」などの意味があります。
似たような意味をもつtaskという言葉もありますが、dutyの方が「自分の仕事に責任がある」というニュアンスが強いです。
ちなみにdutyには、tax「税金」というほかの意味もあります。

I feel ashamed of myself because I couldn't fulfill my duties.
私は、義務を果たせなかったことを恥ずかしく思う。

どういう場面で使うかによって色々な言い方がありますが、相手に対して「自分の役割を果たしてください。」なんて言いたいのであれば

You should do your job/ part. とか言えばいいでしょう。

「私はこのプロジェクトにおいて重要な役割を果たしている」なんて言うのであれば

I am playing a key role in this project.

単語で表現しないのであれば

You should do what you are supposed to do.
Be supposed to V で「vする予定・するはず」なので 「するべきことをしなさい」って感じになります。

参考にしてください

「役割」のことは英語で「role」、「part」や「job」で表すことができます。
「○○を果たす」は今回の場合に「do○○」と「play○○」という形で表しますので、
「自分の役割を果たす」は英語で「play my role」や「do my part」ということになります。

例文：
「企画を進ませるために自分の役割を果たす」→「In order to push the project forward I will play my role」
「自分の役割を果たすだけで役に立つ」　　　→「Just doing your part is a big help」

ご参考になれば幸いです。